高中数学函数必考性质

发布时间:2017-05-11 18:17信息来源:

 

2017-05-08 18:41 搜狐教育

 

函数是高考数学的基础,又是重难点,

 

今天小数老师把函数的八大问题都列出来了。

 

快点你收藏和分享吧~

 

一次函数

 

一、定义与定义式

 

自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b 则此时称yx的一次函数。

 

特别地,当b=0时,yx的正比例函数。即:y=kx k为常数,k0

 

二、一次函数的性质

 

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

 

即:y=kx+b k为任意不为零的实数 b取任何实数)

 

2.x=0时,b为函数在y轴上的截距。

 

三、一次函数的图像及性质

 

1.作法与图形:通过如下3个步骤

 

1)列表;

 

2)描点;

 

3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。

 

因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

 

2.性质:

 

1)在一次函数上的任意一点Pxy),都满足等式:y=kx+b

 

2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0b),与x轴总是交于(-b/k0)正比例函数的图像总是过原点。

 

3kb与函数图像所在象限:

 

k0时,直线必通过一、三象限,yx的增大而增大;

 

k0时,直线必通过二、四象限,yx的增大而减小。

 

b0时,直线必通过一、二象限;

 

b=0时,直线通过原点

 

b0时,直线必通过三、四象限。

 

特别地,当b=0时,直线通过原点O00)表示的是正比例函数的图像。

 

这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。

 

四、确定一次函数的表达式

 

已知点Ax1y1);Bx2y2),请确定过点AB的一次函数的表达式。

 

1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b

 

2)因为在一次函数上的任意一点Pxy),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b y2=kx2+b

 

3)解这个二元一次方程,得到kb的值。

 

4)最后得到一次函数的表达式。

 

五、一次函数在生活中的应用

 

1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt

 

2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量Sg=S-ft

 

六、常用公式:(不全面,可以在书上找)

 

1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

 

2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

 

3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

 

4.求任意线段的长:√(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

 

二次函数

 

一、定义与定义表达式

 

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

 

y=ax2+bx+c

 

abc为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。)

 

则称yx的二次函数。

 

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

 

二、二次函数的三种表达式

 

一般式:y=ax2+bx+cabc为常数,a0

 

顶点式:y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点Phk]

 

交点式:y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点Ax?0)和 Bx?0)的抛物线]

 

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

 

h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x1x2=(-b±√b2-4ac)/2a

 

三、二次函数的图像

 

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

 

四、抛物线的性质

 

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

 

x= -b/2a

 

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P

 

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0

 

2.抛物线有一个顶点P,坐标为

 

P( -b/2a (4ac-b2)/4a )

 

-b/2a=0时,Py轴上;当Δ= b2-4ac=0时,Px轴上。

 

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

 

a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。

 

|a|越大,则抛物线的开口越小。

 

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

 

ab同号时(即ab0),对称轴在y轴左;

 

ab异号时(即ab0),对称轴在y轴右。

 

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

 

抛物线与y轴交于(0c

 

6.抛物线与x轴交点个数

 

Δ= b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。

 

Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

 

Δ= b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^24ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a

 

五、二次函数与一元二次方程

 

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c

 

y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

 

ax2+bx+c=0

 

此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

 

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

 

1.二次函数y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同���它们的顶点坐标及对称轴如下:

 

解析式 和 顶点坐标对 和 对称轴

 

y=ax2 (00) x=0

 

y=a(x-h)2 (h0) x=h

 

y=a(x-h)2+k (hk) x=h

 

y=ax2+bx+c (-b/2a[4ac-b2]/4a) x=-b/2a

 

h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

 

h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。

 

h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;

 

h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

 

h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

 

h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

 

因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便。

 

2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a[4ac-b2]/4a)

 

3.抛物线y=ax2+bx+c(a0),若a>0,当x -b/2a时,yx的增大而减小;当x -b/2a时,yx的增大而增大.若a<0,当x -b/2a时,yx的增大而增大;当x -b/2a时,yx的增大而减小.

 

4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

 

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0c)

 

(2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?0)B(x?0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

 

(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

 

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

 

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0

 

5.抛物线y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小()=(4ac-b2)/4a

 

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

 

6.用待定系数法求二次函数的解析式

 

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

 

y=ax2+bx+c(a0)

 

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a0)

 

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a0)

 

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出。

 

反比例函数

 

形如 yk/x(k为常数且k0) 的函数,叫做反比例函数。

 

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

 

反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。

 

由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

 

另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为|k|

 

知识点:

 

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|

 

2.对于双曲线ykx ,若在分母上加减任意一个实数 ( yk/(x±mm为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)

 

对数函数

 

对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

 

对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

 

1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

 

2)对数函数的值域为全部实数集合。

 

3)函数总是通过(10)这点。

 

4a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

 

5)显然对数函数无界。

 

指数函数

 

指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得

 

可以得到:

 

1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

 

2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

 

3)函数图形都是下凹的。

 

4 a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

 

5)可以看到一个显然的规律,就是当a0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

 

6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X,永不相交。

 

7)函数总是通过(01)这点。

 

8)显然指数函数无界。

 

奇偶性

 

一、定义

 

一般地,对于函数f(x)

 

1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

 

2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

 

3)如果对于函数定义域内的任意一个xf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

 

4)如果对于函数定义域内的任意一个xf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

 

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言

 

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

 

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

 

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

 

二、奇偶函数图像的特征

 

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

 

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

 

点(x,y)→(-x,-y

 

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

 

偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

 

三、奇偶函数运算

 

1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.

 

2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.

 

3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

 

4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

 

5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

 

6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

 

定义域

 

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;

 

值域

 

一、名称定义

 

函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

 

常用的求值域的方法

 

1)化归法

 

2)图象法(数形结合)

 

3)函数单调性法

 

4)配方法

 

5)换元法

 

6)反函数法(逆求法)

 

7)判别式法

 

8)复合函数法

 

9)三角代换法

 

10)基本不等式法等

 

二、关于函数值域误区

 

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。

 

然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

 

如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

 

才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

 

三、“范围”与“值域”相同吗?

 

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。

 

“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

 

也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。

 

 

 

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